INTRODUZIONE ALLA SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI

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Che cosa significa scomporre in fattori un polinomio?

In modo analogo a quanto visto per i numeri, scomporre in fattori un polinomio significa

Il problema di determinare se un polinomio è scomponibile in fattori non sempre ammette soluzione. Non è quindi possibile dare regole generali per scomporre in fattori un polinomio, ma è possibile presentare alcune tecniche che si applicano a casi particolari. 

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ESERCIZIO SVOLTO

Scomponi in fattori i seguenti polinomi mediante i prodotti notevoli:

P1=25x⁴−1 è un binomio e i prodotto notevoli che portano ad  un binomio sono o la differenza di quadrati o la somma/differenza di cubi. In questo caso, poiché 25x⁴ è il quadrato di 5x² e 1 è il quadrato di 1, P1 è una differenza di quadrati che si scompone nel prodotto della somma delle basi (5x²+1) per la loro differenza (5x²−1), quindi:

25x⁴−1 = (5x²+1)(5x²−1) torna indietro

P2=a²−6ab+9b² è un trinomio e i prodotto notevoli che portano ad  un trinomio sono o il quadrato di un binomio o il trinomio particolare. Per quanto riguarda il primo caso, bisogna che ci siano due quadrati preceduti dallo stesso segno e il doppio prodotto delle rispettive basi. Osserviamo che a² è il quadrato di ±a e 9b² è il quadrato di ±3b, ma affinché −6ab sia il doppio prodotto delle basi, bisogna che le due basi abbiano coefficienti discordi: (+a−3b) oppure (−a+3b). Quindi P2 è il quadrato di un binomio e si scompone in:

a²−6ab+9b² = (+a−3b)² = (−a+3b) ² torna indietro

P3=y³+8 è un binomio e i prodotto notevoli che portano ad  un binomio sono o la differenza di quadrati o la somma/differenza di cubi. In questo caso, poiché y³ è il cubo di y e 8 è il cubo di 2, P3 è una somma di cubi che si scompone nel prodotto della somma delle basi (y+2) per il “falso quadrato” del binomio somma delle basi (y²−2y+4), quindi:

y³+8 = (y+2) (y²−2y+4) torna indietro

P4=27c³−1−27c²+9c è un quadrinomio e quindi potrebbe essere il cubo di un binomio. Affinché lo sia bisogna che siano presenti due cubi e i due tripli prodotti del quadrato di ciascuna base per l’altra. Osserviamo che 27c³ e −1 sono due cubi, con base 3c e −1, rispettivamente; i tripli prodotti sono 3(3c)²( −1) = −27c² e 3(3c)( −1) ² = 9c. Quindi P4 è il cubo di un binomio e si scompone in:

27c³−1−27c²+9c = (3c−1)³ torna indietro

P5=a²−10a+9 è un trinomio e i prodotto notevoli che portano ad  un trinomio sono o il quadrato di un binomio o il trinomio particolare. Per quanto riguarda il primo caso, bisogna che ci siano due quadrati preceduti dallo stesso segno e il doppio prodotto delle rispettive basi. Osserviamo che a² è il quadrato di ±a e 9 è il quadrato di ±3, ma il doppio prodotto di queste basi è ±6a ≠ −10a, quindi il trinomio P5 non è uguale al quadrato di un binomio. Osserviamo però che +9 può essere pensato come il prodotto (+9)(+1) oppure anche (−9)(−1). Poiché il coefficiente del termine di primo grado −10 può essere pensato come la somma (−9)+(−1), al trinomio P5 è applicabile la tecnica di scomposizione del trinomio particolare: