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Ripassiamo i Concetti
Fondamentali:
si
dice soluzione di un’equazione nelle due incognite x e
yuna coppia
ordinata di numeri (a,b) tale che la sostituzione di x
con a e di y con brende
veral’uguaglianza
tra i due membri dell’equazione.
La
coppia (1,2) è una soluzione dell’equazione 5x–y=3
perché l’uguaglianza 5∙1–2=3 è vera.
La
coppia (2,3) non è una soluzione dell’equazione 5x–y=3
perché l’uguaglianza 5∙2–3=3 è falsa, infatti 5∙2–3 =
7 ≠ 3.
si dice soluzione di un sistema di due equazioni in due
incognite ogni coppia
ordinata di numeri che soddisfi ciascuna delle equazioni che formano il sistema.
La coppia (1,2) è una soluzione del
sistema formato dalle equazioni 5x–y=3 e 10x–4y=2
perché le uguaglianza 5∙1–2=3e 10∙1–4∙2=2sono
entrambe vere.
La coppia (1,2) non è una soluzione
del sistema formato dalle equazioni 5x–y=3 e 3x–5y=2
perché l’uguaglianza 5∙2–3=3 è vera, ma l’uguaglianza
3∙1–5∙2 = 2 è falsa infatti 3∙1–5∙2 = –7
≠ 2.
RISOLUZIONE
GRAFICA
DI UN SISTEMA LINEARE IN DUE INCOGNITE
Il grafico cartesiano di una funzione
lineare del tipo y=mx+q
è una Retta, cioè l’insieme delle coppie ordinate (x*,y*)
tali che l’uguaglianza y*=mx*+q risulti vera sono associate nel piano
cartesiano a punti che
giacciono tutti su una stessa retta.
Poiché
risolvere un sistema significa determinare le soluzioni comuni alle equazioni
che lo compongono, se ciascuna equazione può essere rappresentata nel piano
cartesiano con una retta, determinare le soluzioni comuni alle due equazioni
significa
Individuare Gli Eventuali Punti Comuni Alle Due Rette
Si possono
presentare tre casi.
1)Le due rette sono
INCIDENTI: il sistema ammette come unica
soluzione la coppia (a,b), rappresentata dalle coordinate del
punto d’intersezione fra le due rette. Il sistema si dice determinato.
2)Le due rette sono
COINCIDENTI: il sistema ammette infinite
soluzioni (non riesco ad inserire il collegamento al segnalibro
errore1) e precisamente tutte le coppie che rappresentano
coordinate dei punti dell’unica retta grafico di entrambe le equazioni. Il
sistema si dice indeterminato.
3)Le due rette sono
PARALLELE E DISTINTE: il sistema non ammette alcuna soluzione perché le due rette non hanno
alcun punto in comune. Il sistema si dice impossibile.
Per
risolvere graficamente un sistema lineare a due incognite è necessario:
Øinterpretare le due equazioni come rette e
rappresentarle nel piano cartesiano;
Østimare in modo approssimato le coordinate
dell’eventuale punto d’intersezione delle due rette, oppure stabilire se le
due rette sono coincidenti (sistema indeterminato) o parallele e distinte
(sistema impossibile).
RISOLUZIONE
ALGEBRICA DI UN SISTEMA
LINEARE IN DUE INCOGNITE
Per risolvere un sistema lineare ci si può avvalere di varie
procedure:
3)risolvere l’equazione in una incognita così ottenuta;
4)sostituire
nell’altra equazione il valore così trovato e calcolare quello
dell’incognita rimanente.
Consideriamo
per esempio il sistema:
x + y = 2
2x
– y = – 5
e
risolviamo la prima equazione rispetto a x:
x = 2 – y
Sostituiamo
il valore di x così ottenuto nella seconda equazione ottenendo un sistema
equivalente a quello iniziale:
x
= 2 – y
2(2–y)
– y = –5
Risolviamo
adesso l’equazione in y:
x
= 2 – y
y = 3
Sostituendo
nella prima equazione il valore di y otteniamo il sistema equivalente a
quello iniziale:
x
= 2 – 3
y = 3
ossia:
x
= – 1
y = 3
La
soluzione del sistema iniziale è dunque la coppia ordinata (– 1,3).
Il
metodo di sostituzione, qui applicato ad un sistema di due equazioni in due
incognite, può essere esteso in modo naturale ad un sistema di tre equazioni in
tre incognite; ricordiamo però che in tal caso l’eventuale soluzione del
sistema sarà una terna ordinata di valori.
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Il
Metodo
del Confronto si articola nelle fasi seguenti:
1.
risolvere (esplicitare) entrambe le equazioni rispetto alla stessa
incognita;
2.
risolvere l’equazione ad una sola incognita ottenuta confrontando i
secondi membri delle equazioni ricavate al punto 1.;
3.
sostituire il valore così trovato in una qualunque delle equazioni
trovate al punto 1), calcolando così il valore dell’incognita rimanente.
Il
metodo del confronto può essere visto comeun caso particolare di quello di sostituzione.
Applichiamolo
per la risoluzione dello stesso sistema precedente:
x + y = 2
2x
– y = – 5
e
scegliamo di risolvere entrambe le equazioni rispetto a y:
y
= 2 – x
y
= 5 + 2x
Confrontando
le due espressioni trovate per y, abbiamo l’equazione:
2
– x = 5 + 2x
Sostituiamo
questa equazione nella seconda equazione del sistema iniziale ottenendo un nuovo
sistema equivalente ad esso:
y
= 2 – x
2
– x = 5 + 2x
ossia:
y
= 2 – x
x = –1
Sostituendo
il valore di x nella prima equazione, concludiamo ancora che la soluzione del
sistema iniziale è la coppia ordinata (– 1,3).
torna indietro
SISTEMI
EQUIVALENTI E PRINCIPI DI EQUIVALENZA
Due sistemi si
dicono equivalenti
quando hanno le stesse soluzioni.
Così come si è
visto per la risoluzione delle equazioni, anche per la risoluzione algebrica di
un sistema è conveniente operare delle trasformazioni su di esso che conducano
ad un sistema equivalente per il quale l’individuazione delle eventuali
soluzioni sia più semplice. Queste trasformazioni si basano su tre principi di
equivalenza:
1.Se si sostituisce un’equazione del sistema con una ad essa equivalente,
si ottiene un sistema equivalente.
2.Se in un sistema si risolve un’equazione rispetto ad un’incognita e
si sostituisce l’espressione così ricavata al posto di quell’incognita in
un’altra equazione del sistema, si ottiene un sistema equivalente. (Principio
di Sostituzione)
3.Se un’equazione di un sistema viene sostituita con un’altra
equazione, ottenuta addizionando o sottraendo membro a membro due equazioni del
sistema, il nuovo sistema che si ottiene è equivalente a quello iniziale.
(Principio di Riduzione) torna indietro
ATTENTO
ALL’ERRORE
Affermare che
esistono infinite soluzioni
di un’equazione a due incognite, non significa affermare che OGNI coppia è soluzione, cioè che
essa è soddisfatta da ogni coppia di numeri: infatti scelto in modo arbitrario
un valore di x, il valore di y rimane determinato dalla
“forma” dell’equazione stessa.
Per esempio
l’equazione 2x+y=5 ammette infinite soluzioni (x,y) con x
un qualunque numero e y determinato in base al valore di x tramite
il calcolo y=–2x+5. L’unica coppia ordinata soluzione
dell’equazione in cui il primo elemento x ha valore 1 è quindi (1,–2∙1+5)
cioè (1,3), mentre ogni altra coppia ordinata avente come primo elemento 1, ma
come secondo elemento un numero diverso da 3, non è soluzione dell’equazione
data. torna indietro
