La Parabola e le Disequazioni di 2° grado

INDICE:

• definizione

• caratteristiche geometriche

• significato geometrico-grafico dei parametri della funzione quadratica

• dalla funzione quadratica al suo grafico

• risoluzione grafica di una disequazione di II grado

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La parabola è una particolare conica definita come

il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da una retta assegnata d detta direttrice e da un punto fisso F detto fuoco.   torna all'indice

Si possono individuare alcune caratteristiche geometriche di tale curva:

• è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano;

• è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della parabola, che è perpendicolare alla direttrice, passa per il fuoco e interseca la parabola in un punto detto VERTICE;

• “si allarga indefinitamente”, nel senso che qualunque retta parallela all’asse di simmetria la interseca in uno ed uno solo punto;

• volge la concavità sempre dalla stessa parte.

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Fissando nel piano della parabola un sistema di assi cartesiani con asse delle ascisse parallelo alla direttrice, e quindi asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate, l’equazione della curva suddetta è quella di una funzione quadratica, cioè di una funzione polinomiale di II grado: y=ax²+bx+c.

I coefficienti a, b e c del trinomio di II grado a secondo membro dell’equazione esplicita soprascritta sono legati alle caratteristiche geometrico-grafiche della parabola:

1. il verso cui è rivolta la concavità (detta anche apertura) dipende dal valore di a: verso l’alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;

2. la posizione dell’asse di simmetria nel piano cartesiano dipende da a e b: l’equazione di tale retta parallela all’asse y è

           ;

3. l’ascissa del vertice dipende da a e b: il suo valore si può ottenere utilizzando la relazione

         ;

4. l’ordinata del vertice dipende da a, b e c e si può ottenere utilizzando la relazione 

5. il punto d’intersezione della parabola con l’asse y dipende da c: il valore dell’ordinata di tale punto è proprio c;

6. la mutua posizione di parabola e asse x dipende da a, b e c, più precisamente dalla loro combinazione espressa dal cosiddetto discriminante : se Δ>0 l’asse x è secante rispetto alla parabola, se Δ=0 l’asse x è tangente rispetto alla parabola, se Δ<0 l’asse x è esterno alla parabola.

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Data l’equazione di una parabola, per esempio y = x²–2x–3, per tracciarne il grafico approssimato si può procedere  nel modo seguente:

• determinare il valore dell’ascissa del vertice utilizzando la relazione 3. soprascritta, che nel caso in esame fornisce

• determinare il valore dell’ordinata utilizzando l’equazione stessa della parabola con la sostituzione alla variabile x del valore per x_V trovato al punto precedente:  y_V = 1²–2∙1–3 = –4; è possibile anche utilizzare la relazione 4. del precedente elenco, che applicata al caso in esame diventa

• disegnare l’asse di simmetria tracciando una retta verticale passante per il vertice, la cui equazione sarà quella indicata al punto 2. del precedente elenco;

• individuare le coordinate di un altro punto fissando a piacere l’ascissa, cioè assegnando un valore arbitrario alla variabile x, e determinando la rispettiva ordinata procedendo per sostituzione nell’equazione della parabola;

• individuare graficamente il punto simmetrico, rispetto all’asse, di quello precedentemente trovato;

• ripetere gli ultimi due passaggi più volte a seconda del grado di approssimazione con cui si vuole tracciare la curva.

RISOLUZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE DI II GRADO

Ricordando che:

1. tutti i punti della parabola di equazione y=ax²+bx+c  hanno coordinate della forma (x;ax²+bx+c): le loro ordinate, infatti, si ottengono sostituendo alla variabile x i valori numerici scelti per le ascisse;

2. quando si risolve una disequazione di II grado quale ax²+bx+c>0 si cercano quei valori reali che, sostituiti alla variabile x nell’espressione a primo membro, danno un risultato positivo;

si deduce che per risolvere una disequazione di II grado del tipo ax²+bx+c>0 (o ax²+bx+c<0) è possibile procedere graficamente nel modo seguente:

1. disegnando la parabola grafico dell’equazione y=ax²+bx+c,

2. individuando tutti quei valori di ascissa dei punti della parabola che hanno ordinata positiva (o negativa).

Le situazioni che si possono presentare sono le seguenti:  

dove con x₁ e x₂ sono stati indicati i valori delle ascisse dei punti (eventualmente coincidenti) in cui la parabola interseca l’asse x, detti anche ZERI della funzione quadratica.

I diversi casi dipendono dai seguenti elementi:

• il segno del coefficiente a, che determina se la parabola associata alla disequazione rivolge la concavità verso l’alto (a>0) o verso il basso (a<0);

• il segno del discriminante Δ che determina se il trinomio ha due zeri reali e distinti (Δ>0), due zeri reali coincidenti (Δ =0) oppure nessuno zero reale (Δ<0);

• il simbolo di disuguaglianza > o < che determina quali punti della parabola si devono prendere in considerazione per individuare le soluzioni: quelli con ordinata positiva se compare il simbolo >, quelli con ordinata negativa se compare il simbolo <.

Considerando il caso a>0, sono qui di seguito rappresentate tutte le situazioni possibili:

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