ANALISI DI UN GRAFICO CARTESIANO

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 Dall’analisi della curva grafico cartesiano di una equazione in due variabili F(x,y)=0 si possono ricavare alcune informazioni sulle proprietà algebriche dell’equazione stessa e su quelle della funzione che ad essa può essere eventualmente associata.

Volendo concentrare l’attenzione nello studio di funzioni reali di variabile reale, è necessario innanzitutto riconoscere quando una curva grafico di una equazione in due variabili F(x,y)=0 è il grafico di una funzione

a valori reali e definita in un insieme D, sottoinsieme dell'insieme R dei numeri reali. 

L’equazione y=f(x) equivalente a quella in due variabili F(x,y)=0 è detta equazione esplicita.

Qualora la curva nel piano cartesiano sia grafico di una funzione, è possibile determinare le sue principali caratteristiche e proprietà seguendo per esempio lo schema seguente:

dominio D	È determinato dai valori xo per i quali le rette di equazione x = xo, parallele all'asse y, ovvero verticali, intersecano la curva in uno (e uno solo) punto: l’insieme di tutti e soli tali valori di ascissa xo  costituisce il dominio della funzione.
	D=[-1,1]   torna all'inizio
immagine f(D)	È determinata dai valori yo per i quali le rette di equazione y = yo, parallele all'asse x, ovvero orizzontali, intersecano la curva in uno o più punti: l’insieme di tutti e soli tali valori di ordinata yo  costituisce l’immagine della funzione.
	f(D)=[-½,½]   torna all'inizio
? funzione suriettiva ?	Affinché una curva del piano cartesiano sia grafico di una funzione suriettiva è necessario che fissato a piacere un numero reale esista almeno un punto della curva che abbia tale valore come ordinata; possiamo valutare ciò stabilendo se la curva ha uno o più punti in comune con una qualsiasi retta orizzontale, di equazione y = yo; se ciò accade la curva è grafico di una funzione suriettiva.
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? funzione iniettiva ?	Affinché una curva  del piano cartesiano sia grafico di una funzione iniettiva è necessario che non esistano due o più punti della curva aventi la stessa ordinata ma ascisse diverse; possiamo valutare ciò stabilendo se la curva ha due o più punti in comune con una qualche retta orizzontale, di equazione y = yo; se ciò accade la curva non è grafico di una funzione iniettiva. Se per qualche valore di yo, la retta orizzontale corrispondente non interseca la curva, significa che yo non appartiene dell'immagine della funzione.
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studio del segno	Per determinare gli intervalli di positività IP e di negatività IN di una funzione, possiamo individuare quali punti del suo grafico hanno ordinata positiva, e negativa rispettivamente: tutti e soli i valori delle ascisse di tali punti saranno gli elementi di IP e di IN, rispettivamente.
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intervalli di crescenza e di decrescenza	Per determinare gli intervalli in cui una funzione e crescente e quelli in cui è decrescente, possiamo individuare quali punti del suo grafico sono tali che al crescere del valore dell'ascissa cresce anche quello dell'ordinata, oppure, per la decrescenza, al crescere del valore dell'ascissa diminuisce quello dell'ordinata: tutti e soli i valori delle ascisse di tali punti saranno gli elementi degli intervalli di crescenza CR e di decrescenza DCR, rispettivamente.
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asintoti	Per stabilire se la curva grafico di una funzione presenta asintoti,  possiamo procedere individuando l'eventuale presenza di rette verso le quali "la curva tende ad avvicinarsi man mano che ci si allontana dall'origine del sistema di riferimento", senza che vi siano punti di intersezione in tali regioni del piano (ma non escludendo la possibilità di intersezioni ai altre regioni).
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	come si verifica nel caso presentato a fianco, una retta che sia asintoto obliquo per il grafico di una funzione (e anche nel caso di asintoto orizzontale ) può eventualmente avere uno o più punti in comune con la curva, purché tali punti non  appartengano alle regioni "lontane" dall'origine degli assi, regioni in cui si ha il comportamento che caratterizza l'asintoto: la distanza di un punto P della curva dall'asintoto tende ad annullarsi.   torna all'inizio

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DEFINIZIONI FONDAMENTALI

Una RELAZIONE tra due insiemi A e B è una corrispondenza che ad elementi dell’insieme A associa elementi dell’insieme B. Nel caso in cui A e B coincidono entrambi con l'insieme dei numeri reali R, si parla di relazione definita in R e il suo grafico è un insieme di punti del piano cartesiano.        torna indietro

Una FUNZIONE di un insieme D a valori in R è una corrispondenza che ad ogni elemento dell’insieme D associa uno e un solo elemento dell’insieme R.     torna indietro

Il DOMINIO D della funzione f è l'insieme degli elementi che hanno uno (e un solo) corrispondente nell'insieme B tramite la funzione f; il corrispondente y_o di un x_oè detto immagine di x_o, e si scrive y_o=f(x_o).     torna indietro

L'IMMAGINE f(D) della funzione f è l’insieme degli elementi che sono corrispondenti di un qualche elemento di D; in generale f(D) è un sottoinsieme di B .    torna indietro

Una funzione reale si dice SURIETTIVA quando ogni elemento di R è immagine di almeno un elemento del dominio, ovvero l'immagine della funzione coincide con l'insieme R: f(D)=B.     torna indietro

Una funzione si dice INIETTIVA quando ogni elemento dell'immagine è corrispondente di un solo elemento del dominio, ovvero non esistono due valori diversi x₁ e  x₂, che hanno la stessa immagine  y₁ =  y₂.     torna indietro

Con lo STUDIO DEL SEGNO di una funzione si intende determinare il sottoinsieme IP del dominio i cui elementi sono associati ad immagini di valore positivo e quello IN i cui elementi sono associati ad immagini di valore negativo. In simboli si definisce IP={x | f(x) > 0} e IN={x | f(x) < 0}.    torna indietro

Una funzione si dice CRESCENTE in un intervallo CR se per ogni coppia x₁ e  x₂ di elementi di CR con x₁ < x₂, risulta y₁ < y₂.    torna indietro

Una funzione si dice DECRESCENTE in un intervallo DCR se per ogni coppia x₁ e  x₂ di elementi di DCR con x₁ < x₂, risulta y₁ > y₂.     torna indietro

Secondo una descrizione intuitiva, una retta del piano cartesiano costituisce un ASINTOTO per la curva grafico di una funzione se man mano che un punto P della curva si allontana dall'origine, la sua distanza da tale retta tende ad annullarsi. Nel piano cartesiano gli eventuali asintoti per una curva possono essere verticali, di equazione x = x_o, orizzontali, di equazione y = y_o, oppure obliqui, di equazione y = mx+q.     torna indietro

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